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函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x—a)或f(x—2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=—f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2的周期函数;

5、方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);

6、a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7、(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀"同正异负"记忆;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

判断对应是否为映射时,抓住两点:

(1)A中元素必须都有象且;

(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。

对于反函数,应掌握以下一些结论:

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也是奇函数;

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;

(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;

(6)y=f(x)与y=f—1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f——1(x)]=x(x∈B),f——1[f(x)]=x(x∈A);